Debido al valor absoluto, calculamos los límites por izquierda y por derecha. Aplicaremos L'Hospital. Tengamos en cuenta que:

Si $x\to 0^-$, $x<0$, $|x|=-x$.

Si $x\to 0^+$, $x>0$, $|x|=x$.

$$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x-\sin(-x)}{x^3}=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x+\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1+\cos x}{3x^2}=+\infty$$

$$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x-\sin(-x)}{x^3}=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\dfrac{1}{3}\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$$

Por lo tanto, no existe el límite.